Polynômes — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

Définition

Un polynôme P(x) est une expression de la forme : P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ où aₙ ≠ 0, n est le degré.

Opérations sur les polynômes

Somme : deg(P + Q) ≤ max(deg P, deg Q)
Produit : deg(P × Q) = deg P + deg Q

Racines d'un polynôme

a est une racine de P si P(a) = 0. Si a est racine, alors (x - a) divise P(x).

Polynôme du second degré : ax² + bx + c

Discriminant : Δ = b² - 4ac

Δ > 0 : deux racines x₁ = (-b - √Δ)/(2a) et x₂ = (-b + √Δ)/(2a)
Δ = 0 : une racine double x₀ = -b/(2a)
Δ < 0 : pas de racine réelle

Factorisation

Δ > 0 : P(x) = a(x - x₁)(x - x₂)
Δ = 0 : P(x) = a(x - x₀)²

Relations entre coefficients et racines

x₁ + x₂ = -b/a ; x₁ × x₂ = c/a

🔑 Formules clés à retenir

Δ = b² - 4ac
x = (-b ± √Δ) / (2a)
x₁ + x₂ = -b/a
x₁ × x₂ = c/a

Polynômes — Fiche d'exercices

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✏️ Exercices interactifs

7 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 7 corrigés

🟢 Exercices Faciles

2 exercices

Résolution d'équations du 2nd degré

🟢 Facile

Énoncé

Résoudre dans ℝ :

x² - 5x + 6 = 0
2x² + 3x - 2 = 0
x² - 4x + 4 = 0

Ma réponse

Correction détaillée

1) x² - 5x + 6 = 0

Δ = 25 - 24 = 1 > 0

x₁ = (5 - 1)/2 = 2 et x₂ = (5 + 1)/2 = 3

S = {2, 3}

2) 2x² + 3x - 2 = 0

Δ = 9 + 16 = 25 > 0

x₁ = (-3 - 5)/4 = -2 et x₂ = (-3 + 5)/4 = 1/2

S = {-2, 1/2}

3) x² - 4x + 4 = 0

Δ = 16 - 16 = 0

x₀ = 4/2 = 2 (racine double)

S = {2}

Factorisation complète par le discriminant

🟢 Facile

Énoncé

Pour chacun des trinômes suivants, calculer le discriminant, factoriser complètement, puis donner les racines :

P(x) = 3x² − 7x + 2
Q(x) = x² + 4x + 4
R(x) = 2x² + x + 3

Ma réponse

Correction détaillée

1) P(x) = 3x² − 7x + 2

a = 3, b = −7, c = 2.

Δ = (−7)² − 4 × 3 × 2 = 49 − 24 = 25 > 0.

x₁ = (7 − 5)/6 = 2/6 = 1/3 et x₂ = (7 + 5)/6 = 12/6 = 2.

Factorisation : P(x) = 3(x − 1/3)(x − 2) = (3x − 1)(x − 2)

Vérification : (3x−1)(x−2) = 3x² − 6x − x + 2 = 3x² − 7x + 2 ✓

2) Q(x) = x² + 4x + 4

a = 1, b = 4, c = 4.

Δ = 16 − 16 = 0. Racine double.

x₀ = −4/2 = −2.

Factorisation : Q(x) = (x + 2)²

On reconnaît l'identité remarquable (a + b)² = a² + 2ab + b² avec a = x et b = 2.

3) R(x) = 2x² + x + 3

a = 2, b = 1, c = 3.

Δ = 1 − 24 = −23 < 0.

Δ < 0 : R(x) n'a pas de racine réelle.

Comme a = 2 > 0 et Δ < 0, on a R(x) > 0 pour tout x ∈ ℝ.

R(x) ne se factorise pas sur ℝ.

🟡 Exercices Intermédiaires

3 exercices

Factorisation et signe

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit P(x) = x³ - 6x² + 11x - 6.

Vérifier que 1 est racine de P.
Factoriser P(x) par (x - 1).
Factoriser complètement P(x).
Résoudre P(x) = 0.

Ma réponse

Correction détaillée

1) Vérification

P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0 ✓ Donc 1 est racine.

2) Division par (x - 1)

P(x) = (x - 1)(x² - 5x + 6)

Vérification : (x-1)(x²-5x+6) = x³ - 5x² + 6x - x² + 5x - 6 = x³ - 6x² + 11x - 6 ✓

3) Factorisation complète

x² - 5x + 6 : Δ = 25 - 24 = 1, racines : 2 et 3

P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)

4) Solutions

P(x) = 0 ⟺ x = 1 ou x = 2 ou x = 3

S = {1, 2, 3}

Factorisation et simplification

🟡 Intermédiaire

Énoncé

1) Factoriser : x² - 5x + 6

2) Simplifier : (x² - 9)/(x² - 5x + 6)

3) Soit P(x) = 2x³ - 5x² - 4x + 3. Vérifier que x = 1 est une racine et factoriser P(x).

4) Résoudre : (x-1)(2x+3)(x-2) = 0

Ma réponse

Correction détaillée

1) Factorisation de x² - 5x + 6

On cherche deux nombres dont la somme est -5 et le produit est 6 : -2 et -3

x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

2) Simplification

(x² - 9)/(x² - 5x + 6) = (x-3)(x+3) / [(x-2)(x-3)]

= (x+3)/(x-2) (pour x ≠ 3)

3) Racine et factorisation

P(1) = 2(1)³ - 5(1)² - 4(1) + 3 = 2 - 5 - 4 + 3 = -4 ≠ 0

Erreur : x = 1 n'est pas une racine. Cherchons d'autres valeurs.

P(-1) = 2(-1)³ - 5(-1)² - 4(-1) + 3 = -2 - 5 + 4 + 3 = 0 ✓

Donc (x + 1) est un facteur. Par division polynomiale :

P(x) = (x+1)(2x² - 7x + 3) = (x+1)(2x-1)(x-3)

4) Résolution

(x-1)(2x+3)(x-2) = 0

⟹ x = 1 ou x = -3/2 ou x = 2

S = {1, -3/2, 2}

Tableau de signes d'un trinôme

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit T(x) = −2x² + 5x + 3.

Calculer le discriminant et trouver les racines.
Dresser le tableau de signes de T(x).
En déduire l'ensemble des solutions de T(x) ≥ 0.
Résoudre aussi : T(x) < 0.

Ma réponse

Correction détaillée

1) Discriminant et racines

a = −2, b = 5, c = 3.

Δ = 25 − 4 × (−2) × 3 = 25 + 24 = 49 > 0.

x₁ = (−5 − 7)/(−4) = (−12)/(−4) = 3

x₂ = (−5 + 7)/(−4) = 2/(−4) = −1/2

Donc les racines sont x₁ = −1/2 et x₂ = 3 (avec x₁ < x₂).

Factorisation : T(x) = −2(x + 1/2)(x − 3) = −(2x + 1)(x − 3)

2) Tableau de signes

x	−∞	−1/2		3	+∞
a = −2	− − − − − − − − − −
(x + 1/2)	−	0		+	+
(x − 3)	−	−		0	+
T(x)	−	0	+	0	−

Remarque : a < 0, donc T est négatif à l'extérieur des racines et positif entre les racines.

3) T(x) ≥ 0

S = [−1/2, 3]

4) T(x) < 0

S = ]−∞, −1/2[ ∪ ]3, +∞[

🔴 Exercices Difficiles

2 exercices

Problème avec paramètre

🔴 Difficile

Énoncé

Soit l'équation (E) : x² - 2mx + m + 2 = 0, où m est un paramètre réel.

Calculer le discriminant Δ en fonction de m.
Déterminer les valeurs de m pour lesquelles (E) admet deux solutions distinctes.
Pour quelles valeurs de m, les deux solutions sont strictement positives ?

Ma réponse

Correction détaillée

1) Discriminant

Δ = (-2m)² - 4(1)(m+2) = 4m² - 4m - 8 = 4(m² - m - 2)

2) Deux solutions distinctes : Δ > 0

m² - m - 2 > 0

Δ' = 1 + 8 = 9, racines : m = (1-3)/2 = -1 et m = (1+3)/2 = 2

(m+1)(m-2) > 0 ⟹ m < -1 ou m > 2

3) Deux solutions strictement positives

Conditions (avec x₁, x₂ les racines) :

Δ > 0 : m < -1 ou m > 2
x₁ + x₂ > 0 : 2m > 0 ⟹ m > 0
x₁ × x₂ > 0 : m + 2 > 0 ⟹ m > -2

Intersection : m > 0 et (m < -1 ou m > 2) et m > -2

⟹ m > 2

Équation du 2nd degré à paramètre

🔴 Difficile

Énoncé

On considère l'équation (Eₘ) : (m + 1)x² − 2mx + m − 2 = 0, où m est un paramètre réel.

Pour quelle valeur de m l'équation est-elle du premier degré ? Résoudre dans ce cas.
Pour m ≠ −1, calculer le discriminant Δ en fonction de m.
Déterminer les valeurs de m pour lesquelles (Eₘ) a deux racines réelles distinctes.
Pour m = 2, résoudre l'équation et vérifier les relations coefficients-racines.

Ma réponse

Correction détaillée

1) Cas du premier degré

L'équation est du 1er degré si le coefficient de x² est nul : m + 1 = 0, soit m = −1.

Pour m = −1 : 0·x² − 2(−1)x + (−1) − 2 = 0 ⟹ 2x − 3 = 0 ⟹ x = 3/2.

2) Discriminant (m ≠ −1)

a = m + 1, b = −2m, c = m − 2.

Δ = (−2m)² − 4(m+1)(m−2)

= 4m² − 4(m² − 2m + m − 2)

= 4m² − 4(m² − m − 2)

= 4m² − 4m² + 4m + 8

Δ = 4m + 8 = 4(m + 2)

3) Deux racines distinctes : Δ > 0

4(m + 2) > 0 ⟹ m + 2 > 0 ⟹ m > −2.

En excluant m = −1 (cas du 1er degré) :

(Eₘ) a deux racines réelles distinctes pour m ∈ ]−2, −1[ ∪ ]−1, +∞[.

4) Pour m = 2

a = 3, b = −4, c = 0.

3x² − 4x = 0 ⟹ x(3x − 4) = 0.

x₁ = 0 et x₂ = 4/3.

Vérification des relations :

x₁ + x₂ = 0 + 4/3 = 4/3 = −b/a = 4/3 ✓

x₁ × x₂ = 0 × 4/3 = 0 = c/a = 0/3 = 0 ✓