Produit scalaire dans le plan

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Produit scalaire dans le plan — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

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📚 Contenu du cours

I. Définitions du produit scalaire

Soient u→ et v→ deux vecteurs du plan. Le produit scalaire de u→ et v→, noté u→ · v→, est le nombre réel défini, selon le contexte, par l'une des expressions équivalentes :

  • Définition géométrique : u→ · v→ = ‖u→‖ · ‖v→‖ · cos(u→, v→).
  • Par projection : si u→ = AB→ et v→ = AC→, et H le projeté orthogonal de C sur (AB), alors u→ · v→ = AB·AH (produit des mesures algébriques).
  • Par les normes : u→ · v→ = ½(‖u→ + v→‖² − ‖u→‖² − ‖v→‖²) = ½(‖u→‖² + ‖v→‖² − ‖u→ − v→‖²).
  • En repère orthonormé : si u→(x, y) et v→(x', y'), alors u→ · v→ = xx' + yy'.

Cas particuliers :

  • u→ · u→ = ‖u→‖² (appelé carré scalaire, noté u→²).
  • Si u→ = 0→ ou v→ = 0→ : u→ · v→ = 0.

II. Propriétés algébriques

Pour tous vecteurs u→, v→, w→ et tout réel k :

  • Symétrie : u→ · v→ = v→ · u→.
  • Bilinéarité : (k·u→) · v→ = k·(u→ · v→) ; u→ · (v→ + w→) = u→ · v→ + u→ · w→.
  • Identités remarquables :
    • (u→ + v→)² = u→² + 2·u→·v→ + v→²
    • (u→ − v→)² = u→² − 2·u→·v→ + v→²
    • (u→ + v→)·(u→ − v→) = u→² − v→²

III. Orthogonalité

Deux vecteurs non nuls u→ et v→ sont orthogonaux ssi u→ · v→ = 0.

Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.

Montrer que (AB) ⊥ (CD) : il suffit de montrer que AB→ · CD→ = 0 (en utilisant les coordonnées ou une formule adaptée).

IV. Applications géométriques

Théorème de la médiane : soit I le milieu de [BC]. Pour tout point A :

AB² + AC² = 2·AI² + BC²/2

Théorème d'Al-Kashi (loi des cosinus) : dans un triangle ABC, en notant a = BC, b = CA, c = AB :

a² = b² + c² − 2bc·cos(Â)

Cas particulier (Â = 90°) : théorème de Pythagore a² = b² + c².

Formule de l'aire : dans un triangle ABC,

S = ½·b·c·sin(Â)

V. Équation cartésienne d'une droite par un vecteur normal

Dans un repère orthonormé, une droite (D) passant par A(x₀, y₀) et de vecteur normal n→(a, b) a pour équation :

a(x − x₀) + b(y − y₀) = 0

soit ax + by + c = 0, avec c = −(ax₀ + by₀).

VI. Distance d'un point à une droite

La distance du point M₀(x₀, y₀) à la droite (D) : ax + by + c = 0 est :

d(M₀, D) = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)

VII. Équation cartésienne d'un cercle

Le cercle de centre Ω(a, b) et de rayon R a pour équation :

(x − a)² + (y − b)² = R²

Équivalent : x² + y² − 2ax − 2by + (a² + b² − R²) = 0.

Reconnaître une équation de cercle : écrire sous la forme x² + y² + αx + βy + γ = 0, compléter les carrés pour obtenir (x − a)² + (y − b)² = R². On a un cercle ssi R² > 0.

Cercle de diamètre [AB] : l'ensemble des M tels que MA→ · MB→ = 0 est le cercle de diamètre [AB] (théorème du cercle vu sous un angle droit).

🔑 Formules clés à retenir

  • u→·v→ = ‖u→‖·‖v→‖·cos(u→,v→) = xx' + yy'
  • u→ ⊥ v→ ⇔ u→·v→ = 0
  • (u→+v→)² = u→² + 2u→·v→ + v→²
  • Al-Kashi : a² = b² + c² − 2bc·cos(Â)
  • Aire = ½·b·c·sin(Â)
  • Médiane : AB² + AC² = 2AI² + BC²/2
  • d(M, D) = |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²)
  • Cercle : (x−a)² + (y−b)² = R²
  • Diamètre [AB] : MA→·MB→ = 0
⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

u→·v→ est un scalaire, pas un vecteur — Le produit scalaire donne un nombre, pas un vecteur. Ne pas écrire u→·v→ avec une flèche.

❌

Al-Kashi : bien identifier a, b, c et l'angle opposé — a² = b² + c² − 2bc·cos(Â). Le côté a est OPPOSÉ à l'angle Â. Ne pas mettre le mauvais angle.

❌

u→·v→ = 0 ⇔ u→ ⊥ v→ seulement si u→ ≠ 0→ et v→ ≠ 0→ — Le vecteur nul est perpendiculaire à tout vecteur par convention, mais ce cas doit être exclu dans les démonstrations.

🟢 Astuces de pros

✅

Calculer l'angle entre deux vecteurs : cos(angle) = (u→·v→)/(‖u→‖·‖v→‖). Calculer le produit scalaire par coordonnées (xx' + yy'), puis diviser par les normes.

💡

Al-Kashi se réduit à Pythagore quand l'angle est 90° : cos(90°) = 0 donc a² = b² + c². Utiliser Al-Kashi quand on n'a pas d'angle droit.