Suites numériques — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

Chapitre 10 : Suites numériques

I. Généralités

Une suite numérique (uₙ) est une fonction de ℕ dans ℝ.
Définition explicite : uₙ = f(n) (formule directe)
Définition par récurrence : u₀ donné, uₙ₊₁ = g(uₙ)

II. Suites arithmétiques

Suite arithmétique de raison r : uₙ₊₁ = uₙ + r
Terme général : uₙ = u₀ + n×r
Somme : S = (u₀+uₙ)×(n+1)/2
Sens de variation : croissante si r>0, décroissante si r<0.

III. Suites géométriques

Suite géométrique de raison q (q≠0) : uₙ₊₁ = q×uₙ
Terme général : uₙ = u₀ × qⁿ
Somme (q≠1) : S = u₀×(1−qⁿ⁺¹)/(1−q)

🔑 Formules clés à retenir

Arithmétique : uₙ=u₀+nr, r=uₙ₊₁−uₙ
Somme arith : S=(u₀+uₙ)(n+1)/2
Géométrique : uₙ=u₀×qⁿ, q=uₙ₊₁/uₙ
Somme géom : S=u₀(1−qⁿ⁺¹)/(1−q)

Suites numériques — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

✏️ Exercices interactifs

9 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 9 corrigés

🟢 Exercices Faciles

3 exercices

Identifier une suite arithmétique

🟢 Facile

Énoncé

Vérifier si les suites suivantes sont arithmétiques. Si oui, donner la raison et le terme général :
1) 3, 7, 11, 15, 19… 2) 20, 16, 12, 8, 4…

Ma réponse

Correction détaillée

1) 7−3=4, 11−7=4… → arithmétique, r=4. uₙ=3+4n

2) 16−20=−4… → arithmétique, r=−4. uₙ=20−4n

Terme général et calcul

🟢 Facile

Énoncé

Suite arithmétique : u₀=5, r=3. 1) Écrire uₙ. 2) Calculer u₁₀. 3) Quel rang n pour uₙ=65 ?

Ma réponse

Correction détaillée

1) uₙ=5+3n

2) u₁₀=5+30=35

3) 5+3n=65 → n=20 → n=20

Suite géométrique

🟢 Facile

Énoncé

Suite géométrique : u₀=2, q=3. 1) Calculer u₄. 2) Calculer u₁+u₂+u₃.

Ma réponse

Correction détaillée

1) u₄=2×3⁴=2×81=162

2) S=2×(1−3⁴)/(1−3)=2×(1−81)/(−2)=2×40=80

Ou : u₁=6, u₂=18, u₃=54 → S=78... en fait u₁+u₂+u₃=6+18+54=78

🟡 Exercices Intermédiaires

3 exercices

Somme de termes d'une suite arithmétique

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Calculer la somme 1+2+3+…+100. Puis 2+4+6+…+200.

Ma réponse

Correction détaillée

1+2+…+100 : arithmétique u₀=1, uₙ=100, n=99 → S=100×101/2=5 050

2+4+…+200 = 2×(1+2+…+100) = 2×5050 = 10 100

Placement bancaire — suite géométrique

🟡 Intermédiaire

Énoncé

On place 10 000 DH à un taux annuel de 5%. Calculer le capital après 1, 2 et 5 ans. Après combien d'années dépasse-t-on 15 000 DH ? (utiliser 1,05⁸≈1,477, 1,05⁹≈1,551)

Ma réponse

Correction détaillée

uₙ=10 000×1,05ⁿ

u₁=10 500 DH | u₂=11 025 DH | u₅=10 000×1,05⁵≈12 763 DH

10 000×1,05ⁿ>15 000 → 1,05ⁿ>1,5 → n≥9 (car 1,05⁹≈1,551>1,5)

Après 9 ans

Sens de variation

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Étudier le sens de variation de : 1) uₙ=3n−7 2) uₙ=2×(1/2)ⁿ 3) uₙ=n²

Ma réponse

Correction détaillée

1) uₙ₊₁−uₙ=3>0 → strictement croissante

2) q=1/2<1, u₀=2>0 → strictement décroissante (vers 0)

3) uₙ₊₁−uₙ=(n+1)²−n²=2n+1>0 → strictement croissante

🔴 Exercices Difficiles

3 exercices

Suite définie par récurrence

🔴 Difficile

Énoncé

u₀=1 et uₙ₊₁=2uₙ+1. 1) Calculer u₁, u₂, u₃. 2) Poser vₙ=uₙ+1. Montrer que (vₙ) est géométrique. 3) En déduire uₙ.

Ma réponse

Correction détaillée

1) u₁=3, u₂=7, u₃=15

2) vₙ=uₙ+1 → vₙ₊₁=uₙ₊₁+1=2uₙ+2=2(uₙ+1)=2vₙ → géométrique de raison 2, v₀=2

3) vₙ=2×2ⁿ=2ⁿ⁺¹ → uₙ=2ⁿ⁺¹−1

Trouver les termes connaissant la somme

🔴 Difficile

Énoncé

Suite arithmétique. u₁=3 et la somme des 10 premiers termes est 120. Trouver la raison et u₁₀.

Ma réponse

Correction détaillée

S₁₀=(u₁+u₁₀)×10/2=5(u₁+u₁₀)=120 → u₁+u₁₀=24

u₁₀=u₁+9r=3+9r → 3+(3+9r)=24 → 6+9r=24 → r=2

r=2, u₁₀=3+18=21

Modélisation — population

🔴 Difficile

Énoncé

La population d'une ville est de 100 000 habitants en 2020. Elle augmente de 2% par an. 1) Modéliser par une suite. 2) Population en 2030. 3) En quelle année dépasse-t-elle 130 000 ? (1,02¹⁴≈1,319, 1,02¹⁵≈1,346)

Ma réponse

Correction détaillée

1) uₙ=100 000×1,02ⁿ (n=années depuis 2020)

2) u₁₀=100 000×1,02¹⁰≈100 000×1,219≈121 900 hab.

3) 1,02ⁿ>1,3 → n≥15 (1,02¹⁵≈1,346>1,3) → en 2035