I. Notion de transformation
Une transformation du plan est une application f : P → P qui, à chaque point M, associe un unique point M' = f(M) appelé image de M. Le point M est appelé antécédent de M'.
On note aussi M ↦ M'.
II. La translation
Soit u→ un vecteur du plan. La translation de vecteur u→, notée tu→, est la transformation qui à tout point M associe M' tel que MM'→ = u→.
Propriétés de la translation :
- Conserve les distances (isométrie) : M'N' = MN.
- Conserve les angles, les aires, l'alignement, le parallélisme.
- Image d'une droite : droite parallèle.
- Image d'un cercle de centre Ω et rayon R : cercle de centre Ω' = tu→(Ω) et même rayon R.
Expression analytique : dans un repère, si u→(a, b) et M(x, y), alors M'(x', y') = tu→(M) est donné par :
x' = x + a, y' = y + b
III. La symétrie centrale
Soit Ω un point. La symétrie centrale de centre Ω, notée SΩ, est la transformation qui à tout M associe M' tel que Ω soit le milieu de [MM'].
Équivalent : ΩM'→ = −ΩM→.
Une symétrie centrale est une isométrie (conserve les distances, angles, aires). C'est aussi une rotation d'angle 180°.
Image d'une droite : droite parallèle. Image d'un cercle : cercle de même rayon.
Expression analytique : si Ω(a, b), M(x, y), alors M'(x', y') :
x' = 2a − x, y' = 2b − y
IV. La symétrie axiale (orthogonale)
Soit (Δ) une droite. La symétrie axiale d'axe (Δ), notée SΔ, est la transformation qui à tout M associe M' tel que (Δ) soit la médiatrice de [MM'] (si M ∉ Δ), ou M' = M si M ∈ Δ.
Isométrie. Points fixes : tous les points de (Δ). Image d'une droite (D) : droite (D') ; parallèles ssi (D) ∥ (Δ) ou (D) = (Δ).
Expression analytique (cas usuels) :
- Symétrie par rapport à l'axe (Ox) : (x, y) ↦ (x, −y).
- Symétrie par rapport à l'axe (Oy) : (x, y) ↦ (−x, y).
- Symétrie par rapport à la droite y = x : (x, y) ↦ (y, x).
V. La rotation
Soient Ω un point et θ un angle orienté. La rotation de centre Ω et d'angle θ, notée R(Ω, θ), est la transformation qui à tout M ≠ Ω associe M' tel que :
- ΩM' = ΩM (conservation de la distance au centre),
- (ΩM→, ΩM'→) = θ (mesure de l'angle orienté).
De plus R(Ω, θ)(Ω) = Ω.
Une rotation est une isométrie. Elle conserve les distances, les angles (et leur orientation), les aires. Image d'une droite : droite (non parallèle en général sauf si θ multiple de π). Image d'un cercle : cercle de même rayon.
Cas particuliers : θ = 0 ⇒ identité ; θ = π ⇒ symétrie centrale SΩ.
VI. L'homothétie
Soient Ω un point et k un réel non nul. L'homothétie de centre Ω et de rapport k, notée h(Ω, k), est la transformation qui à tout M associe M' tel que :
ΩM'→ = k · ΩM→
Propriétés de l'homothétie h(Ω, k) :
- Si k = 1 : identité. Si k = −1 : symétrie centrale SΩ.
- Multiplie les distances par |k| : M'N' = |k|·MN.
- Conserve les angles, l'alignement, le parallélisme.
- Image d'une droite : droite parallèle. Image d'un cercle de rayon R : cercle de rayon |k|·R.
- Multiplie les aires par k².
Expression analytique : si Ω(a, b), M(x, y), alors M'(x', y') = h(Ω, k)(M) :
x' = a + k(x − a), y' = b + k(y − b)
VII. Récapitulatif — effets sur les figures
| Transformation | Distances | Aires | Angles | Droite → droite |
|---|---|---|---|---|
| Translation | conservées | conservées | conservés | parallèle |
| Symétrie centrale | conservées | conservées | conservés | parallèle |
| Symétrie axiale | conservées | conservées | conservés (orientation inversée) | droite |
| Rotation | conservées | conservées | conservés | droite (image) |
| Homothétie (k) | × |k| | × k² | conservés | parallèle |