Vecteurs du plan — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

Chapitre 7 : Vecteurs du plan

I. Notion de vecteur

Un vecteur AB⃗ est défini par sa direction (la droite (AB)), son sens (de A vers B) et sa norme (longueur AB).
Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme.

Le vecteur nul 0⃗ a une norme nulle. Pour tout point A : AA⃗ = 0⃗.

II. Opérations sur les vecteurs

Addition (règle de Chasles) : AB⃗ + BC⃗ = AC⃗
Multiplication par un scalaire : k·u⃗ — même direction, norme multipliée par |k|, sens inversé si k<0.

III. Coordonnées d'un vecteur

Dans un repère (O; i⃗, j⃗), si A(xA, yA) et B(xB, yB) :
AB⃗ = (xB−xA ; yB−yA)
‖AB⃗‖ = √((xB−xA)² + (yB−yA)²)

IV. Milieu et colinéarité

Milieu M de [AB] : M = ((xA+xB)/2 ; (yA+yB)/2)
Colinéarité : u⃗(a;b) et v⃗(c;d) colinéaires ⟺ ad − bc = 0

🔑 Formules clés à retenir

AB⃗ = (xB−xA ; yB−yA)
‖AB⃗‖ = √((Δx)²+(Δy)²)
Chasles : AB⃗+BC⃗=AC⃗
Milieu M : ((xA+xB)/2 ; (yA+yB)/2)
Colinéaires : ad−bc=0

Vecteurs du plan — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

✏️ Exercices interactifs

9 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 9 corrigés

🟢 Exercices Faciles

3 exercices

Coordonnées de vecteurs

🟢 Facile

Énoncé

On donne A(1,3), B(4,7), C(−1,2), D(2,6). Calculer les coordonnées de AB⃗, CD⃗ et ‖AB⃗‖.

Ma réponse

Correction détaillée

AB⃗=(4−1;7−3)=(3;4) | ‖AB⃗‖=√(9+16)=5

CD⃗=(2−(−1);6−2)=(3;4)

AB⃗=CD⃗ → ABDC est un parallélogramme.

Milieu d'un segment

🟢 Facile

Énoncé

Trouver le milieu M de [AB] avec A(−2,5) et B(6,1).

Ma réponse

Correction détaillée

M=((−2+6)/2 ; (5+1)/2) = (2 ; 3)

Relation de Chasles

🟢 Facile

Énoncé

O(0,0), A(3,1), B(5,4), C(8,2). Calculer OA⃗+AB⃗ et OC⃗. Vérifier la relation de Chasles.

Ma réponse

Correction détaillée

OA⃗=(3;1), AB⃗=(2;3) → OA⃗+AB⃗=(5;4)=OB⃗ ✓ (Chasles : OA⃗+AB⃗=OB⃗)

🟡 Exercices Intermédiaires

3 exercices

Colinéarité de vecteurs

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Vérifier si les vecteurs suivants sont colinéaires :
1) u⃗=(3;6) et v⃗=(1;2) 2) u⃗=(2;5) et v⃗=(4;9)

Ma réponse

Correction détaillée

1) det=3×2−6×1=6−6=0 → colinéaires (v⃗=u⃗/3)

2) det=2×9−5×4=18−20=−2≠0 → non colinéaires

Prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme

🟡 Intermédiaire

Énoncé

A(1,2), B(4,3), C(6,7), D(3,6). Montrer que ABCD est un parallélogramme.

Ma réponse

Correction détaillée

AB⃗=(3;1), DC⃗=(6−3;7−6)=(3;1) → AB⃗=DC⃗ → AB∥DC et AB=DC

ABCD est un parallélogramme ✓

Translation et image d'un triangle

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Triangle ABC avec A(0,0), B(3,0), C(0,4). On applique la translation de vecteur t⃗=(2;−1). Trouver A', B', C'.

Ma réponse

Correction détaillée

A'=(0+2;0−1)=(2;−1)

B'=(3+2;0−1)=(5;−1)

C'=(0+2;4−1)=(2;3)

🔴 Exercices Difficiles

3 exercices

Décomposition de vecteurs

🔴 Difficile

Énoncé

Exprimer le vecteur GH⃗ en fonction de GA⃗ et GB⃗, sachant que G est le centre de gravité du triangle ABH avec H tel que GH⃗ = −(GA⃗+GB⃗)/2... En fait : soit G le milieu de [AB]. Exprimer OG⃗ en fonction de OA⃗ et OB⃗.

Ma réponse

Correction détaillée

G milieu de [AB] → OG⃗ = (OA⃗+OB⃗)/2

Si A(xA,yA), B(xB,yB) → G=((xA+xB)/2 ; (yA+yB)/2) ✓

Vecteurs et droites parallèles

🔴 Difficile

Énoncé

A(1,2), B(3,5), C(0,−1), D(4,k). Trouver k pour que AB∥CD.

Ma réponse

Correction détaillée

AB⃗=(2;3), CD⃗=(4;k+1).

Colinéaires : 2(k+1)−3×4=0 → 2k+2−12=0 → 2k=10 → k=5

Norme et calcul vectoriel

🔴 Difficile

Énoncé

A(−1,3), B(2,−1), C(5,3). 1) Calculer ‖AB⃗‖, ‖BC⃗‖, ‖AC⃗‖. 2) Le triangle est-il isocèle ? rectangle ?

Ma réponse

Correction détaillée

AB⃗=(3;−4) → ‖AB⃗‖=5 | BC⃗=(3;4) → ‖BC⃗‖=5 | AC⃗=(6;0) → ‖AC⃗‖=6

AB=BC=5 → isocèle en B

AB²+BC²=50≠36=AC² → non rectangle