Bac SM 2020 — Session Rattrapage — 2ème Bac SM

1. Exercice 1 : p et q sont premiers, p<q, 9^(p+q−1)≡1[pq]. On veut montrer p=2. Par Fermat : 9^(p−1)≡1[p] et 9^q≡9[p]. Donc 9^(p+q−1)=9^(p−1)×9^q≡1×9=9[p]. Puisque 9^(p+q−1)≡1[p], on a 9≡1[p], soit p|8. Quel est p ?

2. Exercice 3 : z²+2z+1+m²=0 (m∈ℝ*). Le discriminant est :

3. Exercice 4 : f(x) = x·ln(2−x) sur I=[0,1]. La dérivée est f'(x) = ln(2−x) − x/(2−x). f'(0) vaut :

4. Exercice 4 — Partie II : Pour f_n(x)=xⁿ·ln(2−x) sur [0,1], la suite (I_n) avec I_n=∫₀¹f_n(x)dx est :

5. Exercice 1 : Montrer que p=2 et q=5. (Étapes : montrer p|8, puis montrer que q|p−1+... → q|(p−1) impossible si q>p, puis utiliser Fermat pour trouver q.)

6. Exercice 3 : Montrer que le centre de la rotation d'angle (−π/2) transformant O en A(−1+im) est P d'affixe p = −1+m(1−i)/2. Calculer p pour m=1.

7. Exercice 4 — Partie I : f(x)=x·ln(2−x) sur [0,1]. Montrer que f est concave sur [0,1], puis en déduire ∀x∈[0,1]: f(x)≤f(0)+(f(1)−f(0))x=x·ln(2).