Olympiade Nationale — Tronc Commun 2011 — Tronc Commun

1. On cherche les triplets (x,y,z) ∈ (ℝ*)³ vérifiant : 1/x + 1/y + 1/z = 2010 et x+y+z = 670. D'après l'inégalité de la moyenne harmonique-arithmétique, le produit (1/x+1/y+1/z)(x+y+z) est :

2. Pour le même système {1/x+1/y+1/z=2010 ; x+y+z=670}, l'unique solution dans (ℝ*)³ est :

3. Combien de solutions réelles a l'équation (x+1)⁵ + (x+1)⁴(x−1) + (x+1)³(x−1)² + (x+1)²(x−1)³ + (x+1)(x−1)⁴ + (x−1)⁵ = 0 ?

4. Soit M(a,b) = max{3a²+2b, 3b²+2a} pour (a,b)∈ℝ². La valeur minimale de M(a,b) est :

5. Problème 1 — Système : Trouver tous les triplets (x,y,z) ∈ (ℝ*)³ vérifiant simultanément : 1/x + 1/y + 1/z = 2010 et x + y + z = 670. Montrer d'abord que (1/x+1/y+1/z)(x+y+z) ≥ 9, puis discuter les solutions.

6. Problème 3 (Leyfura Valentyn) — Soit M(a,b) = max{3a²+2b, 3b²+2a}. Trouver le minimum de M(a,b) sur ℝ².

7. Problème 2 — Résoudre l'équation dans ℝ : (x+1)⁵ + (x+1)⁴(x−1) + (x+1)³(x−1)² + (x+1)²(x−1)³ + (x+1)(x−1)⁴ + (x−1)⁵ = 0. (Astuce : poser u=x+1, v=x−1 et utiliser la somme géométrique u⁶−v⁶.)