Pour tout entier $n \ge 1$, notons $S(n)$ la somme des chiffres de $n$ en base 10.
Montrer que $n \equiv S(n) \pmod{9}$ pour tout $n$.
Trouver tous les entiers $n$ tels que $S(n) = S(2n)$.
Montrer qu'il existe une infinité d'entiers $n$ tels que $S(n^2) = S(n)^2$.
Solution
$n \equiv S(n) \pmod 9$ :
Si $n = \sum_{k=0}^{r} a_k \cdot 10^k$ avec $0 \le a_k \le 9$, alors $10^k \equiv 1^k = 1 \pmod 9$.
Donc $n \equiv \sum_k a_k \cdot 1 = S(n) \pmod 9$.
$S(n) = S(2n)$ :
On sait que $S(n) - S(2n) \equiv n - 2n = -n \pmod 9$.
Donc si $S(n) = S(2n)$, alors $9 | n$.
Réciproquement, si $n$ est une puissance de 10 multipliée par un multiple de 9 sans retenue lors du doublement… Plus précisément, $S(2n) = S(n)$ si et seulement si le doublement de $n$ ne produit aucune retenue, ce qui arrive par exemple pour $n = 10^k$ (hors multiples de 9). L'ensemble exact est $n$ tel que tous les chiffres de $n$ sont $\le 4$, ce qui garantit aucune retenue.
Infinité de $n$ avec $S(n^2) = S(n)^2$ :
Prenons $n = 10^k - 1 = \underbrace{99\ldots9}_{k}$. Alors $S(n) = 9k$.
$n^2 = 10^{2k} - 2 \cdot 10^k + 1 = \underbrace{99\ldots9}_{k-1}8\underbrace{00\ldots0}_{k-1}1$.
$S(n^2) = 9(k-1) + 8 + 1 = 9k = S(n)$, et $S(n)^2 = 81k^2 \ne S(n)$ en général.
On utilise plutôt $n = \underbrace{11\ldots1}_{k}$ : $n^2 = 1234\ldots k \ldots 4321$ et $S(n) = k$, $S(n^2) = k^2$ pour $k \le 3$. Pour $k = 1, 2, 3$ : $S(1) = 1$, $S(4) = 4$, $S(9) = 9$ ✓, et pour $k=3$: $n = 111$, $n^2 = 12321$, $S = 9 = 3^2$ ✓. Pour $k \le 9$, $\underbrace{11\ldots1}_k^2$ a tous chiffres sans retenue.