Principe des tiroirs (pigeonhole)

1. Il y a 13 élèves et 12 mois. Si tous les élèves étaient nés des mois différents, il faudrait au moins 13 mois — impossible. Par l'absurde, au moins 2 élèves partagent le même mois de naissance. ✓

2. Principe des tiroirs (Dirichlet) : Si l'on répartit n+1 objets dans n boîtes, alors au moins une boîte contient au moins 2 objets. Preuve : si chaque boîte contenait au plus 1 objet, le total serait ≤ n objets — contradition avec n+1. ✓

3. Divisons le carré de côté 2 en 4 sous-carrés de côté 1. Pour 5 points et 4 sous-carrés, au moins un sous-carré contient 2 points (principe des tiroirs). La diagonale d'un sous-carré de côté 1 vaut √(1²+1²) = √2. Donc ces 2 points sont à distance ≤ √2. ✓