Année : 2025
Source : IMO 2025
Considérez l'ensemble des points entiers positifs:
$$P_n := \{(a,b) \in \mathbb{Z}_{>0}^2: a+b \le n+1\}, \quad n \ge 3$$
Une ligne est appelée ensoleillée si sa direction n'est pas parmi {horizontale, verticale, pente -1}.
Question : Trouvez tous les comptages possibles de lignes ensoleillées dans les $n$-recouvrements de ligne de $P_n$.
Théorème : $K_n = \{0, 1, 3\}$ pour tous $n \ge 3$.
Étape 1 — Lemme Structurel :
Pour $n \ge 4$, tout $n$-recouvrement de ligne doit inclure au moins une ligne de côté de triangle (non-ensoleillée).
Étape 2 — Réduction :
Les configurations pour $P_n$ (où $n \ge 4$) se réduisent aux configurations pour $P_{n-1}$ en préservant le comptage ensoleillé, s'acheminant finalement vers $P_3$.
Étape 3 — Analyse du cas de base :
Pour $n=3$ avec exactement 6 points, on énumère toutes les possibilités et on prouve que seuls les comptages 0, 1 et 3 sont réalisables — le comptage 2 est impossible.
Étape 4 — Constructions :
Des familles explicites démontrent que chaque comptage est réalisable pour tous $n \ge 3$.
Idée-clé : "toute ligne ensoleillée coupe $S_3$ en au plus 2 points", ce qui contraint sévèrement les configurations réalisables.