Année : 2019
Source : Olympiade Marocaine de Mathématiques (OMM)
Trouver toutes les fonctions $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telles que :
$$f(x + y) = f(x) + f(y) \quad \forall\, x, y \in \mathbb{R}$$
en supposant que $f$ est monotone (croissante ou décroissante) sur $\mathbb{R}$.
Étape 1 — Valeurs sur $\mathbb{Q}$ :
En posant $x = y = 0$ : $f(0) = 0$.
En posant $y = -x$ : $f(-x) = -f(x)$ (f est impaire).
Par récurrence, pour tout $n \in \mathbb{Z}$ : $f(n) = n f(1)$.
Pour $p/q \in \mathbb{Q}$ : $q \cdot f(p/q) = f(p) = p f(1)$, donc $f(p/q) = (p/q) f(1)$.
Étape 2 — Extension à $\mathbb{R}$ :
Posons $c = f(1)$. On sait que $f(x) = cx$ pour tout rationnel.
Soit $x \in \mathbb{R}$. Comme $f$ est monotone, pour tout $q_1, q_2 \in \mathbb{Q}$ avec $q_1 \le x \le q_2$ :
$$c q_1 = f(q_1) \le f(x) \le f(q_2) = c q_2$$
En prenant $q_1, q_2 \to x$ dans $\mathbb{Q}$, on obtient $f(x) = cx$.
Conclusion : Les seules solutions monotones sont les fonctions linéaires $f(x) = cx$ pour une constante $c \in \mathbb{R}$.