Polynôme à racines entières

Solution

1. Formules de Viète :
   • $a = r_1 + r_2 + r_3$
   • $b = r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3$
   • $c = r_1 r_2 r_3$
2. Inégalité $a^3 \ge 27c$ :
   Par AM-GM : $\frac{r_1 + r_2 + r_3}{3} \ge \sqrt[3]{r_1 r_2 r_3}$
   Donc $\left(\frac{a}{3}\right)^3 \ge c$, soit $a^3 \ge 27c$.
   L'égalité a lieu si et seulement si $r_1 = r_2 = r_3$.
3. Condition $a = b$ :
   On cherche $r_1 + r_2 + r_3 = r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3$.
   Pour $r_1 = 1, r_2 = 2, r_3 = 3$ : $a = 6$, $b = 2+3+6 = 11$. Non.
   Pour $r_1 = 1, r_2 = 2, r_3 = 2$ : $a = 5$, $b = 2+2+4 = 8$. Non.
   Pour $r_1 = r_2 = r_3 = r$ : $a = 3r$, $b = 3r^2$. $a=b$ implique $3r = 3r^2$, soit $r = 1$.
   Solution : $(1, 1, 1)$. Autres : $(1, 1, r)$ donne $a = r+2$, $b = 1+r+r = 2r+1$. Égalité : $r+2 = 2r+1 Rightarrow r = 1$.
   Pour $(1, 2, r)$ : $a = r+3$, $b = 2+r+2r = 3r+2$. Égalité : $r+3 = 3r+2 Rightarrow r = 1/2$. Pas entier.
   La seule solution est $(r_1, r_2, r_3) = (1, 1, 1)$.