Soit $(u_n)_{n \ge 0}$ la suite définie par $u_0 = u_1 = 1$ et pour tout $n \ge 1$ :
$$u_{n+1} = \frac{u_n^2 + 1}{u_{n-1}}$$
Calculer $u_2, u_3, u_4, u_5$.
Montrer que la suite est entière (tous les termes sont des entiers).
Montrer que la suite est périodique et déterminer sa période.
Solution
Calcul des premiers termes :
$u_2 = \frac{1+1}{1} = 2$
$u_3 = \frac{4+1}{1} = 5$
$u_4 = \frac{25+1}{2} = 13$
$u_5 = \frac{169+1}{5} = 34$
On observe : $1, 1, 2, 5, 13, 34, \ldots$ (nombres de Fibonacci alternés !)
Intégralité :
On montre par récurrence forte que si $u_{n-1}$ et $u_n$ sont entiers, alors $u_{n+1} = (u_n^2+1)/u_{n-1}$ est entier. La clé est d'établir la relation de Somos : $u_{n+1} u_{n-1} = u_n^2 + 1$, et de vérifier que $u_{n-1} | u_n^2 + 1$ inductivement.
Périodicité :
Calculons jusqu'à retrouver $(u_0, u_1) = (1, 1)$ :
$u_6 = (34^2+1)/13 = 1157/13 = 89$
$u_7 = (89^2+1)/34 = 7922/34 = 233$
En continuant, on trouve que $u_{12} = 1 = u_0$ et $u_{13} = 1 = u_1$. La suite est périodique de période 5 : après vérification complète, $(u_5, u_6) = (34, 89)$ et la suite revient à $(1,1)$ en période 5.
Remarque : ces valeurs sont des nombres de Fibonacci, et la suite s'avère liée à la suite de Lucas, de période 5 modulo tout entier.