Année : 2021
Source : Sélection Marocaine IMO
Trouver toutes les fonctions $f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ telles que :
$$f(x) \cdot f(y) = f(xy) + f\!\left(\frac{x}{y}\right) \quad \forall\, x, y \in \mathbb{R}^+$$
Étape 1 — Substitutions initiales :
$x = y = 1$ : $f(1)^2 = 2f(1)$, donc $f(1) = 2$ (car $f(1) > 0$).
Étape 2 — Symétrie :
En échangeant $x$ et $1/y$ : $f(x) f(1/y) = f(x/y) + f(xy)$.
Donc $f(x) f(y) = f(x) f(1/y)$, ce qui donne $f(y) = f(1/y)$ : $f$ est "symétrique" en $t leftrightarrow 1/t$.
Étape 3 — Relation structurelle :
Posons $g(t) = \ln t$ et $h = f \circ \exp$. L'équation devient $h(s) h(t) = h(s+t) + h(s-t)$, une équation du type d'onde.
Les solutions continues sont $h(t) = 2\cosh(ct)$ pour $c \in \mathbb{R}$.
Étape 4 — Solution finale :
En revenant à $f$ : $f(x) = x^c + x^{-c}$ pour une constante $c \ge 0$.
Cas particuliers notables : $c=0$ donne $f(x) = 2$ (constante), $c=1$ donne $f(x) = x + 1/x$.
Les solutions sont $f(x) = x^c + x^{-c}$ pour tout $c \ge 0$.