Nombres parfaits et nombres de Mersenne

Énoncé du problème

Soit $n$ un entier naturel. On dit que $n$ est parfait si la somme de ses diviseurs propres égale $n$.

Montrer que 6 et 28 sont des nombres parfaits.
Démontrer que si $p$ et $2^p - 1$ sont tous les deux premiers, alors $n = 2^{p-1}(2^p - 1)$ est un nombre parfait pair.
Trouver tous les nombres parfaits de la forme $2^k$ pour $k \geq 1$.

Vérification pour 6 et 28 :
- Diviseurs propres de 6 : 1, 2, 3. Somme $= 6$ ✓
- Diviseurs propres de 28 : 1, 2, 4, 7, 14. Somme $= 28$ ✓
Démonstration :
Soit $q = 2^p - 1$ premier et $n = 2^{p-1} q$. Puisque $gcd(2^{p-1}, q) = 1$ :
$\sigma(n) = \sigma(2^{p-1}) \cdot \sigma(q) = (2^p - 1) \cdot (q + 1) = (2^p-1) \cdot 2^p = 2n$
Donc la somme des diviseurs propres $= \sigma(n) - n = n$ ✓
Aucun $2^k$ n'est parfait :
Somme des diviseurs propres de $2^k$ : $1 + 2 + \cdots + 2^{k-1} = 2^k - 1 \ne 2^k$.

Énoncé du problème