Équation diophantienne et factorisation

Solution

Factorisation clé :
$xyz + xy + yz + zx + x + y + z + 1 = (x+1)(y+1)(z+1)$
Donc $(x+1)(y+1)(z+1) = 2025 = 3^4 \times 5^2$.

Décompositions de 2025 en trois facteurs $\ge 2$ :
On liste tous les triplets ordonnés $(a, b, c)$ avec $a \le b \le c$ et $abc = 2025$ :
$(3, 3, 225),\ (3, 5, 135),\ (3, 9, 75),\ (3, 15, 45),\ (3, 25, 27),\ (5, 5, 81),\ (5, 9, 45),\ (5, 15, 27),\ (9, 9, 25),\ (9, 15, 15)$.

Chaque triplet $(a, b, c)$ donne la solution $(x, y, z) = (a-1, b-1, c-1)$ et ses permutations.