OMM 2024 — Problème 1 : Divisibilité et restes

Solution complète

1. Résidus possibles de n modulo 7

On teste les 7 résidus possibles r ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} :

• r = 0 : 0 + 0 + 5 = 5 ≢ 0 (mod 7)
• r = 1 : 1 + 3 + 5 = 9 ≡ 2 (mod 7) ≢ 0
• r = 2 : 4 + 6 + 5 = 15 ≡ 1 (mod 7) ≢ 0
• r = 3 : 9 + 9 + 5 = 23 ≡ 2 (mod 7) ≢ 0
• r = 4 : 16 + 12 + 5 = 33 ≡ 5 (mod 7) ≢ 0
• r = 5 : 25 + 15 + 5 = 45 ≡ 3 (mod 7) ≢ 0
• r = 6 : 36 + 18 + 5 = 59 ≡ 3 (mod 7) ≢ 0

Conclusion : Aucun résidu ne convient ! L'équation n² + 3n + 5 ≡ 0 (mod 7) n'a aucune solution.

En effet, le discriminant Δ = 9 − 20 = −11 ≡ 3 (mod 7). Or 3 n'est pas un carré modulo 7 (les carrés mod 7 sont 0, 1, 2, 4).

2. Conséquence pour n ≥ 100

Puisque l'équation n'a aucune solution dans ℤ/7ℤ, elle n'a aucune solution entière. La question n'a donc pas de réponse — ce qui est en soi la réponse à démontrer.

3. Preuve que 7 ∤ (n+1)

Supposons par l'absurde que 7 | (n+1), alors n ≡ 6 (mod 7).
Calculons : n² + 3n + 5 ≡ 36 + 18 + 5 = 59 ≡ 3 (mod 7) ≠ 0.
Contradiction avec l'hypothèse. Donc 7 ∤ (n+1). ∎