Année : 2024
Source : Olympiade Marocaine de Mathématiques 2024
Soit ABC un triangle tel que AB = 5, BC = 7 et CA = 6.
Soit M le milieu de [BC] et H le pied de la hauteur issue de A.
Par la formule de la médiane :
$$AM^2 = \frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4} = \frac{2(25) + 2(36) - 49}{4} = \frac{50 + 72 - 49}{4} = \frac{73}{4}$$
Donc AM = √73 / 2 ≈ 4,27
On pose BH = x. Dans le triangle ABH rectangle en H :
AH² = AB² − BH² = 25 − x²
Dans le triangle AHC rectangle en H, HC = BC − BH = 7 − x :
AH² = AC² − HC² = 36 − (7−x)²
En égalisant : 25 − x² = 36 − (7−x)²
25 − x² = 36 − 49 + 14x − x²
25 = −13 + 14x → 14x = 38 → BH = 19/7
AH² = 25 − (19/7)² = 25 − 361/49 = (1225 − 361)/49 = 864/49
AH = 12√6 / 7 ≈ 4,20
H est sur BC, avec BH = (AB² − AC² + BC²) / (2·BC) par la formule générale.
M est le milieu de BC, donc BM = BC/2.
I est sur BC à distance BI = (AB + BC − AC)/2 (tangente du cercle inscrit).
M = H ⟺ BH = BM ⟺ (AB² − AC² + BC²)/(2·BC) = BC/2 ⟺ AB² − AC² = 0 ⟺ AB = AC.
De même I = M ⟺ BI = BM ⟺ (AB + BC − AC)/2 = BC/2 ⟺ AB = AC.
Ainsi M, H, I sont alignés (tous sur BC) et H = M = I si et seulement si AB = AC. ∎