OMM 2023 — Problème 1 : Entiers consécutifs

Solution complète

1. Divisibilité par 120

Parmi 5 entiers consécutifs :

• Au moins un est divisible par 5 → 5 | produit
• Au moins un est divisible par 4 ou deux sont divisibles par 2 → 8 | produit (car parmi 5 consécutifs, au moins 2 pairs dont l'un est ≡ 0 mod 4)
• Au moins un est divisible par 3 → 3 | produit

Donc 5 × 8 × 3 = 120 | n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4).

En fait, n(n+1)…(n+4) = 5! × C(n+4, 5) = 120 × C(n+4, 5), ce qui donne directement 120 | produit. ∎

2. La somme des carrés n'est pas un carré parfait

S = n² + (n+1)² + (n+2)² + (n+3)² + (n+4)²

= 5n² + 20n + 30 = 5(n² + 4n + 6) = 5(n² + 4n + 4 + 2) = 5((n+2)² + 2)

Pour que S soit un carré parfait k², il faut 5 | k², donc 5 | k, disons k = 5m :

5((n+2)² + 2) = 25m² → (n+2)² + 2 = 5m²

Modulo 5 : (n+2)² ≡ 5m² − 2 ≡ −2 ≡ 3 (mod 5)

Or les carrés modulo 5 sont {0, 1, 4}. Donc 3 n'est pas un carré mod 5. Contradiction. ∎

3. Entiers n tels que le produit = 120k²

n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) = 120 × C(n+4,5), donc k² = C(n+4,5) doit être un carré.

On cherche C(n+4, 5) = (n+4)(n+3)(n+2)(n+1)n / 120 carré parfait.

Pour n=1 : C(5,5) = 1 = 1² ✓ → n = 1 est solution.

Pour n = 2 : C(6,5) = 6, pas un carré.

Pour n = 3 : C(7,5) = 21, pas un carré.

Pour n = 4 : C(8,5) = 56, pas un carré.

On peut montrer (par la théorie des nombres) que n = 1 est la seule solution pour n ≥ 1.