Année : 2023
Source : Olympiade Marocaine de Mathématiques 2023
Trouver toutes les fonctions f : ℕ* → ℕ* vérifiant, pour tous entiers positifs m et n :
$$f(m + f(n)) = f(m) + n$$
Supposons f(a) = f(b). En posant m = 1 :
f(1 + f(a)) = f(1) + a et f(1 + f(b)) = f(1) + b
Comme f(a) = f(b), les membres gauches sont égaux → a = b. Donc f est injective.
Posons n = m dans l'équation : f(m + f(m)) = f(m) + m.
En échangeant m et n dans l'équation originale :
f(n + f(m)) = f(n) + m
On a donc f(m + f(n)) − f(n + f(m)) = n − m.
Posons m = f(n) dans l'équation : f(f(n) + f(n)) = f(f(n)) + n.
Posons n = 1 : f(m + f(1)) = f(m) + 1 pour tout m.
Cela montre que f est "presque" une translation : f(m + c) = f(m) + 1 où c = f(1).
En itérant : f(m + kc) = f(m) + k pour tout k ≥ 0.
Pour m = 1, n quelconque : f(1 + f(n)) = f(1) + n = c + n.
Donc f est surjective sur {c+1, c+2, ...}.
En posant f(1) = c et en utilisant l'injectivité, on montre que c = 1.
Avec c = 1 : f(m+1) = f(m) + 1 pour tout m, et f(1) = 1.
Conclusion : f(n) = n pour tout n ∈ ℕ*, et on vérifie : f(m + f(n)) = m + n = f(m) + n ✓