Théorème de Ptolémée

Solution

1. Théorème de Ptolémée :
   Démonstration par inversion. Soit $\omega$ une inversion de centre $A$ et rayon $r^2$ quelconque.
   Les images de $B, C, D$ sont $B', C', D'$ sur une droite (image du cercle passant par $A$).
   Par la formule d'inversion : $B'C' = \frac{r^2 \cdot BC}{AB \cdot AC}$, etc.
   L'alignement de $B', C', D'$ donne $B'D' = B'C' + C'D'$ (si $C'$ entre $B'$ et $D'$).
   En multipliant par $AB \cdot AC \cdot AD / r^2$, on obtient $AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$.
2. Triangle équilatéral :
   Dans le quadrilatère cyclique $ABPC$ (ou $ABCP$ selon la position de $P$) :
   On applique Ptolémée à $BPCA$ : $BC \cdot PA = PB \cdot CA + PC \cdot AB$.
   Comme $AB = BC = CA = a$ : $a \cdot PA = PB \cdot a + PC \cdot a$.
   En divisant par $a$ : $PA = PB + PC$. ✓