Puissance d'un point et cercle radical

Solution

1. Puissance d'un point :
   Pour un point $M$ et un cercle de centre $O$ et rayon $r$, la puissance est $\text{pow}(M) = MO^2 - r^2$.
   Si une droite par $M$ coupe le cercle en $X$ et $Y$, alors $\text{pow}(M) = MX \cdot MY$ (signé).
   Puissance de $P$ par rapport à $\mathcal{C}_2$ : $P$ est sur $\ell$, qui coupe $\mathcal{C}_2$ en $A$ et $Q$.
   Donc $\text{pow}_{\mathcal{C}_2}(P) = PA \cdot PQ$.
2. Axe radical :
   Soit $T$ l'intersection de la tangente à $\mathcal{C}_1$ en $P$ avec $AB$.
   $\text{pow}_{\mathcal{C}_1}(T) = TP^2$ (tangente), et $\text{pow}_{\mathcal{C}_1}(T) = TA \cdot TB$ (sécante par $A, B$).
   De même, pour la tangente à $\mathcal{C}_2$ en $Q$ : tout point de $AB$ a même puissance par rapport aux deux cercles (propriété de l'axe radical). Donc les deux tangentes se rencontrent en un point de $AB$.
3. Perpendicularité $O_1 O_2 \perp AB$ :
   $A$ et $B$ sont sur $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$. Le segment $O_1 O_2$ est la médiatrice de $AB$ (car $O_1 A = O_1 B$ et $O_2 A = O_2 B$). Donc $O_1 O_2 \perp AB$.