Dans un cercle de centre $O$, soit $ABCD$ un quadrilatère inscrit avec $AB \parallel CD$.
Montrer que $AC = BD$ (le quadrilatère est un trapèze isocèle).
Montrer que $\angle ACD = \angle BDC$.
Si de plus $AB = CD$, montrer que $ABCD$ est un rectangle.
Solution
$AC = BD$ :
$AB \parallel CD$ signifie que les arcs $AD$ et $BC$ (du même côté) sont égaux.
Donc $AD = BC$ (cordes égales = arcs égaux dans le même cercle).
Ainsi $ABCD$ est un trapèze avec $AD = BC$, donc isocèle, et $AC = BD$.
$\angle ACD = \angle BDC$ :
$\angle ACD$ est inscrit dans l'arc $AD$, et $\angle BDC$ est inscrit dans l'arc $BC$.
Comme $\text{arc}(AD) = \text{arc}(BC)$, on a $\angle ACD = \angle BDC$.
$AB = CD$ $\Rightarrow$ rectangle :
$AB \parallel CD$ et $AB = CD$ implique $ABCD$ est un parallélogramme.
Un parallélogramme inscrit dans un cercle est un rectangle (ses diagonales sont des diamètres).