Homothétie et centres remarquables

Solution

1. Droite d'Euler :
   Soit l'homothétie $h$ de centre $G$ et de rapport $-1/2$. Elle envoie $A \to A'$ (milieu de $BC$).
   Cette homothétie envoie le triangle $ABC$ sur le triangle médial $A'B'C'$.
   Le centre du cercle circonscrit de $A'B'C'$ est $O' = h(O)$. On sait que $O'$ coïncide avec... l'orthocentre $H$ (propriété). Donc $h(O) = H$, ce qui signifie $G$ partage $OH$ dans le rapport $1:2$ depuis $O$ : $OG = \frac{1}{3}OH$.
2. Cercle des neuf points :
   Les neuf points sont : milieux des côtés ($A', B', C'$), pieds des hauteurs ($H_A, H_B, H_C$), milieux de $AH$, $BH$, $CH$.
   L'homothétie de centre $H$ et rapport $1/2$ envoie le cercle circonscrit (rayon $R$) sur le cercle des neuf points, qui a donc rayon $R/2$.
3. $N_9$ milieu de $OH$ :
   L'homothétie de centre $H$ et rapport $1/2$ envoie $O$ sur $N_9$.
   Donc $N_9 = \frac{O + H}{2}$, soit $N_9$ est le milieu de $OH$.