Année : 2017
Source : IMO Shortlist
Soient $a$, $b$, $c$ des réels strictement positifs. Montrer :
$$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}$$
avec égalité si et seulement si $a = b = c$.
Méthode 1 — Manipulation algébrique directe :
Ajoutons 1 à chaque fraction :
$\frac{a}{b+c} + 1 = \frac{a+b+c}{b+c}$, etc.
Donc l'inégalité équivaut à :
$(a+b+c)\left(\frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} + \frac{1}{a+b}\right) \ge \frac{9}{2}$
Par Cauchy-Schwarz (Titu / Engel) :
$\frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} + \frac{1}{a+b} \ge \frac{9}{2(a+b+c)}$
(car $\frac{1^2}{b+c} + \frac{1^2}{c+a} + \frac{1^2}{a+b} \ge \frac{(1+1+1)^2}{2(a+b+c)}$)
Donc LHS $\ge (a+b+c) \cdot \frac{9}{2(a+b+c)} = \frac{9}{2}$. ✓
Égalité : dans Cauchy-Schwarz, égalité iff $b+c = c+a = a+b$, soit $a = b = c$.