Inégalité AM-GM généralisée

Solution

1. AM-GM par récurrence de Cauchy (forward-backward) :
   Cas $n=2$ : $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ car $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge 0$.
   $n \to 2n$ : $\frac{a_1+\cdots+a_{2n}}{2n} \ge \sqrt{\frac{a_1+\cdots+a_n}{n} \cdot \frac{a_{n+1}+\cdots+a_{2n}}{n}} \ge \sqrt{\sqrt[n]{a_1\cdots a_n} \cdot \sqrt[n]{a_{n+1}\cdots a_{2n}}} = \sqrt[2n]{a_1\cdots a_{2n}}$.
   $n \to n-1$ (rétrogression) : Si vrai pour $n$, posez $a_n = \bar{a}$ (la moyenne des $n-1$ premiers) pour obtenir le cas $n-1$.
2. $a^3 + b^3 + c^3 \ge 3abc$ :
   AM-GM sur $a^3, b^3, c^3$ : $\frac{a^3+b^3+c^3}{3} \ge \sqrt[3]{a^3 b^3 c^3} = abc$. ✓
3. Rectangle de périmètre $P$ :
   Soit $P = 2(l + L)$, i.e. $l + L = P/2$.
   Aire $= lL \le \left(\frac{l+L}{2}\right)^2 = \left(\frac{P}{4}\right)^2$ (AM-GM).
   Maximum atteint ssi $l = L$, i.e. carré. ✓