Inégalité de Jensen et convexité

Énoncé du problème

Soit $f$ une fonction convexe sur un intervalle $I$ et $x_1, \ldots, x_n \in I$, $\lambda_1, \ldots, \lambda_n > 0$ avec $\sum \lambda_i = 1$.

Énoncer et démontrer l'inégalité de Jensen : $f\!\left(\sum_i \lambda_i x_i\right) \le \sum_i \lambda_i f(x_i)$.
Utiliser Jensen pour montrer que dans un triangle $ABC$ : $\cos A + \cos B + \cos C \le \frac{3}{2}$.
Montrer que l'égalité a lieu si et seulement si $A = B = C = 60°$.

Inégalité de Jensen :
Par récurrence sur $n$. Pour $n=2$ : c'est la définition de la convexité.
Pour $n ge 3$ : posons $\mu = \lambda_1 x_1 + \cdots + \lambda_{n-1} x_{n-1}$ divisé par $1 - \lambda_n$.
$\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i = (1-\lambda_n)\mu + \lambda_n x_n$.
$f((1-\lambda_n)\mu + \lambda_n x_n) \le (1-\lambda_n) f(\mu) + \lambda_n f(x_n)$ (convexité).
Par HR : $f(\mu) \le \sum_{i=1}^{n-1} \frac{\lambda_i}{1-\lambda_n} f(x_i)$. En combinant : Jensen. ✓
$\cos A + \cos B + \cos C \le 3/2$ :
La fonction $f(x) = -\cos x$ est convexe sur $[0, \pi]$ (car $f''(x) = \cos x \ge 0$... attention sur $[0, \pi/2]$).
En fait, $-\cos$ est convexe sur $[0, \pi]$. Jensen avec poids égaux $(1/3)$ :
$-\cos\!\left(\frac{A+B+C}{3}\right) \le \frac{-\cos A - \cos B - \cos C}{3}$
Soit $-\cos(60°) \le -\frac{\cos A + \cos B + \cos C}{3}$, d'où $\cos A + \cos B + \cos C \le 3\cos 60° = \frac{3}{2}$.
Égalité :
Jensen atteint l'égalité iff tous les $x_i$ sont égaux, soit $A = B = C = 60°$.

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