Inégalité de Schur

Solution

1. Schur pour $t=1$ :
   WLOG $a \ge b \ge c \ge 0$. Posons $S = a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c) + c(c-a)(c-b)$.
   Regroupons : $S = (a-b)[a(a-c) - b(b-c)] + c(c-a)(c-b)$.
   $= (a-b)[(a-b)(a+b) - c(a-b)] + c(c-a)(c-b)$
   $= (a-b)^2(a+b-c) + c(c-a)(c-b)$.
   Comme $a \ge b \ge c \ge 0$ : $(a-b)^2 \ge 0$, $a+b-c \ge 0$, et $c(c-a)(c-b) \ge 0$ (car $(c-a) \le 0$ et $(c-b) \le 0$).
   Donc $S \ge 0$. ✓
2. Équivalence :
   En développant $a(a-b)(a-c) + \cdots = a^3 - a^2 b - a^2 c + abc + \cdots$
   La somme cyclique donne $a^3+b^3+c^3 - a^2 b - a^2 c - b^2 a - b^2 c - c^2 a - c^2 b + 3abc \ge 0$
   soit $a^3+b^3+c^3+3abc \ge a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b) = ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$. ✓
3. $9abc \le (a+b+c)(ab+bc+ca)$ :
   Par AM-GM : $a+b+c \ge 3(abc)^{1/3}$ et $ab+bc+ca \ge 3(abc)^{2/3}$.
   Donc $(a+b+c)(ab+bc+ca) \ge 9abc$. ✓
   Alternativement, avec Schur : De l'étape 2, $a^3+b^3+c^3+abc \ge ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$.
   On sait aussi que $(a+b+c)(ab+bc+ca) = a^2 b + a^2 c + \cdots + 3abc$.
   La manipulation donne le résultat.