Inégalités trigonométriques dans le triangle

Solution

1. $\sin A + \sin B + \sin C \le \frac{3\sqrt{3}}{2}$ :
   $f(x) = \sin x$ est concave sur $[0, \pi]$ (car $f'' = -\sin x \le 0$).
   Par Jensen (concave) : $\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3} \le \sin\!\left(\frac{A+B+C}{3}\right) = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
   Donc $\sin A + \sin B + \sin C \le \frac{3\sqrt{3}}{2}$. ✓
   Égalité ssi $A = B = C = 60°$ (triangle équilatéral).
2. $\sin A \sin B \sin C \le \frac{3\sqrt{3}}{8}$ :
   Par AM-GM : $\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3} \ge \sqrt[3]{\sin A \sin B \sin C}$.
   Donc $\sqrt[3]{\sin A \sin B \sin C} \le \frac{\sqrt{3}}{2}$.
   En cubant : $\sin A \sin B \sin C \le \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 = \frac{3\sqrt{3}}{8}$. ✓
3. $\tan\frac{A}{2} + \tan\frac{B}{2} + \tan\frac{C}{2} \ge \sqrt{3}$ :
   La fonction $g(x) = \tan(x/2)$ est convexe sur $(0, \pi)$.
   Par Jensen (convexe) : $\frac{\tan\frac{A}{2} + \tan\frac{B}{2} + \tan\frac{C}{2}}{3} \ge \tan\!\left(\frac{A+B+C}{6}\right) = \tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
   Donc la somme $\ge \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$. ✓