Année : 2022
Source : Olympiade Marocaine de Mathématiques 2022
On dispose de n jetons numérotés de 1 à n placés en cercle (n ≥ 3).
Une opération consiste à choisir 3 jetons consécutifs a, b, c (b entre a et c) et à remplacer b par a + c − b.
a = 3, b = 4, c = 7. Nouveau b' = a + c − b = 3 + 7 − 4 = 6.
La configuration devient 3, 6, 7.
Avant l'opération : somme contient ... + a + b + c + ...
Après l'opération : ... + a + (a + c − b) + c + ... = ... + 2a + 2c − b + ...
Variation = (2a + 2c − b) − (a + b + c) = a + c − 2b.
Attention : La somme totale varie de (a + c − 2b), elle n'est pas conservée en général.
Ce qui est conservé : la parité de la somme — car a + c − 2b ≡ a + c (mod 2). ✓
Somme initiale : 1+2+3+4+5 = 15.
Somme cible : 1+2+3+4+6 = 16.
Comme chaque opération modifie la somme de (a+c−2b) ≡ 0 (mod 2), la parité de la somme est conservée.
Somme initiale 15 est impaire, somme cible 16 est paire.
Donc on ne peut jamais atteindre la configuration 1, 2, 3, 4, 6. ∎