Test Régional TC 2025 — Polynômes et équations

Solution

1. Vérification que 1 est racine

P(1) = 1 − 6 + 11 − 6 = 0 ✓

2. Factorisation complète

Puisque 1 est racine, (x−1) divise P(x). Par division euclidienne :

P(x) = (x−1)(x² − 5x + 6)

On factorise x²−5x+6 : Δ = 25−24 = 1, racines x = (5±1)/2 → x = 2 ou x = 3.

P(x) = (x−1)(x−2)(x−3)

3. Résolution de P(x) ≥ 0

Tableau de signes des facteurs (x−1), (x−2), (x−3) :

• x < 1 : (−)(−)(−) = négatif
• 1 < x < 2 : (+)(−)(−) = positif
• 2 < x < 3 : (+)(+)(−) = négatif
• x > 3 : (+)(+)(+) = positif

Solution : x ∈ [1, 2] ∪ [3, +∞[

4. Divisibilité par 6

Pour tout entier n, P(n) = (n−1)(n−2)(n−3) est le produit de 3 entiers consécutifs.

• Parmi 3 entiers consécutifs, l'un est divisible par 2 → 2 | P(n)
• L'un est divisible par 3 → 3 | P(n)

Donc 6 | P(n) pour tout entier n. ∎