Test Régional TC 2024 — Arithmétique dans ℤ

Solution

1. PGCD(n, n+1) = 1

Soit d = PGCD(n, n+1). Alors d | n et d | (n+1).

Donc d | (n+1) − n = 1. Comme d ≥ 1, on a d = 1. ∎

2. PGCD(2n+1, 2n+3) = 1

Soit d = PGCD(2n+1, 2n+3). Alors d | (2n+3) − (2n+1) = 2.

Donc d ∈ {1, 2}. Or 2n+1 est impair, donc d ≠ 2. Ainsi d = 1. ∎

3. PGCD(n²+2, n+1) = 1

Soit d = PGCD(n²+2, n+1). Alors d | (n+1) et d | (n²+2).

Or n²+2 = (n+1)(n−1) + 3. Donc d | 3.

Aussi d | (n+1), et n² + 2 = n² − 1 + 3 = (n−1)(n+1) + 3.

Si d | (n+1) et d | 3, vérifions si d = 3 est possible :

3 | (n+1) → n ≡ 2 (mod 3). Alors n² ≡ 4 ≡ 1 (mod 3), donc n²+2 ≡ 0 (mod 3). Possible !

Mais alors d peut valoir 1 ou 3. Donc d | 3. En général d = 1 sauf si 3 | (n+1). ∎

4. Entiers n tels que (n²+2)/(n+1) ∈ ℤ

On effectue la division euclidienne : n²+2 = (n+1)(n−1) + 3.

Donc (n²+2)/(n+1) = (n−1) + 3/(n+1).

Ceci est entier ⟺ (n+1) | 3 ⟺ n+1 ∈ {1, 3} (pour n ≥ 0) ⟺ n = 0 ou n = 2.

Vérification : n=0 → 2/1 = 2 ✓ ; n=2 → 6/3 = 2 ✓